Números de Fibonacci e Natureza Esta página foi dividida em DUAS PARTES. Isso, o primeiro. Olha os números de Fibonacci e porque eles aparecem em várias árvores genealógicas e padrões de espirais de folhas e sementes. A segunda página então examina por que a seção dourada é usada por natureza com algum detalhe, incluindo animações de plantas em crescimento. Conteúdo desta página O ícone significa que há um Você faz as matemáticas. Seção de perguntas para iniciar suas próprias investigações. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Arbamas familiares de coelhos, vacas e abelhas Vamos olhar primeiro no enigma de coelho que Fibonacci escreveu e depois em duas adaptações para torná-lo mais realista. Isto apresenta a série Fibonacci Number e a definição simples de toda a série sem fim. Fibonaccis Rabbits O problema original que Fibonacci investigou (no ano 1202) foi sobre a rapidez com que os coelhos podem se reproduzir em circunstâncias ideais. Suponha que um par recém nascido de coelhos, um macho, uma fêmea, sejam colocados em um campo. Os coelhos podem se acasalar com a idade de um mês para que, no final do segundo mês, uma fêmea possa produzir outro par de coelhos. Suponha que nossos coelhos nunca morram e que a fêmea sempre produz um novo par (um homem e uma mulher) a cada mês a partir do segundo mês. O enigma que Fibonacci representava era. Quantos pares haverá em um ano No final do primeiro mês, eles se acasalam, mas ainda existe um único par. No final do segundo mês, a fêmea produz um novo par, então agora existem 2 pares de coelhos no campo. No final do terceiro mês, a fêmea original produz um segundo par, fazendo 3 pares em todos no campo. No final do quarto mês, a fêmea original produziu mais um novo par, a fêmea nascida há dois meses produz seu primeiro par também, fazendo 5 pares. O número de pares de coelhos no campo no início de cada mês é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Você consegue ver como a série é formada e como ela continua. Se não, olhe Na resposta. Os primeiros 300 números Fibonacci estão aqui e algumas perguntas para você responder. Agora, você pode ver por que essa é a resposta para o problema de nossos Coelhos Se não, heres por quê. Outra visão da Árvore genealógica dos coelhos: ambos os diagramas acima representam a mesma informação. Os coelhos foram numerados para permitir comparações e contabilizá-los, da seguinte forma: Todos os coelhos nascidos no mesmo mês são da mesma geração e estão no mesmo nível na árvore. Os coelhos foram numerados de forma exclusiva para que, na mesma geração, os novos coelhos sejam numerados na ordem do número de seus pais. Assim, 5, 6 e 7 são os filhos de 0, 1 e 2, respectivamente. Os coelhos rotulados com um número de Fibonacci são os filhos do coelho original (0) no topo da árvore. Há um número de Fibonacci de novos coelhos em cada geração, marcado com um ponto. Há um número de coelhos Fibonacci no total de cima para baixo para qualquer geração única. Existem muitas outras propriedades matemáticas interessantes desta árvore que são exploradas em páginas posteriores neste site.0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. O problema dos coelhos não é muito realista, é que isso parece implicar que irmãos e irmãs companheiro, o que, geneticamente, leva a problemas. Podemos contornar isso dizendo que a fêmea de cada par combina com qualquer homem e produz outro par. Outro problema que novamente não é fiel à vida, é que cada nascimento é exatamente de dois coelhos, um homem e uma fêmea. Vacas Dudeneys O puzzlist inglês, Henry E Dudeney (1857 - 1930, pronunciado Dude-joelho) escreveu vários excelentes livros de quebra-cabeças (veja após esta seção). Em um deles, ele adapta os Coelhos Fibonaccis às vacas, tornando o problema mais realista da maneira que observamos acima. Ele contorna os problemas notando que realmente, são apenas as mulheres que são interessantes - er - eu significo o número de fêmeas que ele muda meses em anos e coelhos em touros (machos) e vacas (fêmeas) no problema 175 em seu livro 536 quebra-cabeças e Curious Problems (1967, Souvenir press): Se uma vaca produz sua primeira bezerro aos dois anos de idade e depois disso, ela produz outra beija-mãe única a cada ano, quantos bezerros existem há 12 anos, assumindo nenhum Morrer Esta é uma melhor simplificação do problema e bastante realista agora. Mas Fibonacci faz o que os matemáticos costumam fazer no começo, simplificar o problema e ver o que acontece - e a série com seu nome tem muitas outras aplicações interessantes e práticas como vemos mais tarde. Então, vamos olhar para outra situação da vida real que é exatamente modelada pela série Fibonaccis - abelhas. Livros de enigmas de Henry E Dudeney Amusements in Mathematics. Dover Press, 1958, 250 páginas. Ainda em impressão graças a Dover em um formato de bolso muito resistente a um preço incrivelmente barato. Esta é uma coleção maravilhosa que eu acho que eu normalmente mergulho. Existem enigmas aritméticos, enigmas geométricos, quebra-cabeças de xadrez, um excelente capítulo sobre todos os tipos de labirintos e resolvê-los, quadrados mágicos, quebra-cabeças de cruzeiros de rios e mais, todos com soluções completas e, muitas vezes, notas extras, altamente recomendados 536 quebra-cabeças e problemas curiosos agora Esgotado, mas você pode apanhar uma versão de segunda mão clicando neste link. É outra coleção como Amusements in Mathematics (acima), mas contendo diferentes enigmas organizados em seções: enigmas aritméticos e algébricos, enigmas geométricos, enigmas combinatórios e topológicos, enigmas de jogos, enigmas de Domino, enigmas de jogo e enigmas não classificados. Soluções e índice completos. Um verdadeiro tesouro. Os Puzzles de Canterbury. Dover 2002, 256 páginas. Mais enigmas (não nos livros anteriores), a primeira seção com alguns personagens de Chaucers Canterbury Tales e outras seções sobre os Monges de Riddlewell, a festa dos navios dos escudeiros, os instrutores dos professores e assim por diante e todos com soluções completas, é claro, abelhas e árvores genealógicas Existem mais de 30 mil espécies de abelhas e, na maioria delas, as vidas vivas e solitárias das abelhas. O que a maioria de nós conhece melhor é a abelha e isso, de forma incomum, vive em uma colônia chamada colméia e eles têm uma Árvore Familiar incomum. Na verdade, existem muitas características incomuns de abelhas e nesta seção vamos mostrar como os números de Fibonacci contam com ancestros de abelhas (nesta seção, uma abelha significará abelha de mel). Primeiro, alguns fatos incomuns sobre as abelhas, tais como: nem todos têm dois pais. Em uma colônia de abelhas, há uma fêmea especial chamada de rainha. Há muitas abelhas operárias que também são mulheres, mas ao contrário da abelha rainha, elas não produzem ovos. Existem algumas abelhas drone que são do sexo masculino e não trabalham. Os machos são produzidos pelas rainhas de ovos não fertilizados, de modo que as abelhas do sexo masculino só têm uma mãe, mas nenhum pai. Todas as fêmeas são produzidas quando a rainha se acasalou com um macho e, portanto, tem dois pais. As fêmeas geralmente terminam como abelhas trabalhadoras, mas algumas são alimentadas com uma substância especial chamada geléia real, que as faz crescer em rainhas prontas para começar uma nova colônia quando as abelhas formam um enxame e saem de sua casa (uma colméia) em busca de Um lugar para construir um novo ninho. Assim, as abelhas têm dois pais, um macho e uma fêmea, enquanto as abelhas têm apenas um dos pais, uma fêmea. Aqui seguimos a convenção de Árvores genealógicas que os pais aparecem acima de seus filhos. Então as últimas gerações estão no fundo e, quanto mais alto vamos, as pessoas mais velhas são. Tais árvores mostram todos os antepassados (predecessores, antepassados, antecedentes) da pessoa na parte inferior do diagrama. Nós teríamos uma árvore bastante diferente se listarmos todos os descendentes (progênies, descendentes) de uma pessoa como fizemos no problema do coelho, onde mostramos todos os descendentes do par original. Vamos ver a árvore genealógica de uma abelha de drone masculina. Ele tinha 1 pai, uma fêmea. Ele tem dois avós, uma vez que sua mãe tinha dois pais, um homem e uma mulher. Ele tem três bisavós: sua avó tinha dois pais, mas seu avô tinha apenas um. Quantos ótimos avós que ele teve. Mais uma vez, vemos os números de Fibonacci: a Seqüência de Fibonacci como aparece na natureza por S. L.Basin em Fibonacci Quarterly. Vol 1 (1963), páginas 53 - 57. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Você faz as contas de matemática. Faça um diagrama de sua própria árvore genealógica. Pergunte aos seus pais e avós e parentes mais velhos, pois cada um poderá falar sobre partes específicas da sua árvore genealógica que outros não sabiam. Pode ser bastante divertido tentar ver o quão longe você pode ir. Se você os colocou em fotografias antigas de parentes em um gráfico grande de sua Árvore (ou use fotocópias das fotografias se seus parentes querem manter os originais). Se você quiser, inclua o ano e local de nascimento e morte e também as datas de qualquer casamento. Um irmão ou irmã é o nome de alguém que tem os mesmos dois pais que você. O que é meio-irmão e meia-irmã Descreva um primo, mas use palavras mais simples, como irmão, irmã, pai, filho. Faça o mesmo por sobrinho e sobrinha. O que é um primo segundo. O que queremos dizer com um cunhado, uma cunhada, uma sogra, etc. Grand - e great - referem-se a parentes ou a seus pais. Assim, um avô é pai de um pai seu e grande tia ou tia-ava é o nome dado a uma tia de seus pais. Faça um diagrama de Nomes de Árvore genealógica para que eu esteja na parte inferior e mamãe e papai estão acima de você. Marque em irmão, irmã, tio, sobrinho e tantos outros nomes de (tipos de) parentes que você conhece. Não importa se você não tem irmãos ou irmãs ou sobrinhos, pois o diagrama deve mostrar os relacionamentos e seus nomes. Se você tem um amigo que fala um idioma estrangeiro, pergunte-lhes quais são as palavras que usam para essas relações. Qual é o nome para a esposa de um irmão de pais Você usa um nome diferente para a irmã de seus pais. Em lei, esses dois às vezes são distinguidos porque um é um parente do sangue seu e o outro não é, apenas um parente através do casamento. Qual você acha que é o parente do sangue e qual a relação por causa do casamento? Quantos pais todos têm? Então, quantos avós você terá que criar espaços na sua Árvore genealógica. Cada um deles também teve dois pais, então, Os seus avós serão os seus avós na sua Árvore. E quantos bisavós O que é o padrão nesta série de números Se você voltar uma geração para seus pais, e dois para seus avós, quantas entradas haverá 5 gerações atrás em sua Árvore e quantos 10 gerações atrás. A Árvore genealógica dos seres humanos envolve uma seqüência diferente para os Números Fibonacci. Qual é essa seqüência chamada Olhando suas respostas para a pergunta anterior, seu amigo Dee Duckshun diz para você: você tem 2 pais. Cada um tem dois pais, então são quatro avós que você recebeu. Eles também tiveram dois pais cada um fazendo 8 bisavós no total. . E 16 bisavós e bisavós. . e assim por diante. Então, quanto mais longe você vá em sua Árvore genealógica, mais pessoas estão lá. É o mesmo para a Árvore genealógica de todos vivos no mundo de hoje. Isso mostra que quanto mais adiante nós chegamos, mais pessoas devem ter estado. Então, é uma dedução lógica que a população do mundo deve ficar cada vez menor à medida que o tempo passa. Existe um erro no argumento Dees? Em caso afirmativo, o que é? Peça à sua professora de matemática ou a um pai se você não tem certeza da resposta 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Números de Fibonacci e Ratio de Ouro Se tomarmos a proporção de dois números sucessivos na série de Fibonaccis, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.) e dividimos cada um pelo número anterior, encontraremos o seguinte Série de números: é mais fácil ver o que está acontecendo se traçamos os índices em um gráfico: a proporção parece estar se ajustando a um valor particular, que chamamos de razão dourada ou o número dourado. Tem um valor de aproximadamente 1183618034. Embora tenhamos um valor ainda mais preciso em uma página posterior, este link abre uma nova janela. Você faz as contas de matemática. O que acontece se tomarmos os índices ao contrário, ou seja, dividimos cada número pelo que o segue: 11, 12, 23, 35, 58, 813. Use sua calculadora e talvez trace um gráfico dessas proporções e veja se algo parecido Está acontecendo em comparação com o gráfico acima. Você descobrirá uma propriedade fundamental desta relação quando encontrar o valor limitante da nova série 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 , 987. Mais. A razão de ouro 1183618034 também é chamada de seção dourada ou média de ouro ou apenas o número dourado. Muitas vezes, é representada por uma carta grega Phi. O valor intimamente relacionado que escrevemos como phi com um pequeno p é apenas a parte decimal de Phi, ou seja, 0183618034. Retângulos de Fibonacci e Espirais de Shell Podemos fazer outra imagem mostrando os números de Fibonacci 1,1,2,3,5,8, 13,21. Se começarmos com dois pequenos quadrados de tamanho 1 próximos uns dos outros. Em cima de ambos, desenhe um quadrado de tamanho 2 (11). Agora podemos desenhar um novo quadrado - tocando tanto um quadrado da unidade como o último quadrado do lado 2 -, tendo laterais 3 unidades de comprimento e, em seguida, outro tocando tanto o quadrado quanto o 3 quadrados (que tem lados de 5 unidades). Podemos continuar a adicionar quadrados ao redor da imagem, cada novo quadrado tendo um lado que é tão longo quanto a soma dos últimos dois quadrados lados. Este conjunto de retângulos cujos lados são dois números sucessivos de Fibonacci em comprimento e que são compostos de quadrados com lados que são números de Fibonacci, chamaremos os Retângulos de Fibonacci. Aqui está uma espiral desenhada nos quadrados, um quarto de círculo em cada quadrado. A espiral não é uma verdadeira espiral matemática (uma vez que é composta de fragmentos que são partes de círculos e não se torna cada vez menor), mas é uma boa aproximação de um tipo de espiral que aparece frequentemente na natureza. Tais espirais são vistos na forma de conchas de caracóis e conchas do mar e, como vemos mais tarde, no arranjo de sementes em plantas com flores também. A espiral-nos-quadrados faz uma linha do centro do aumento espiral por um fator do número dourado em cada quadrado. Assim, os pontos na espiral são 1,618 vezes mais longe do centro após um quarto de volta. Em um todo, os pontos em um raio para fora do centro são 1.618 4 6.854 vezes mais longe do que quando a curva cruzou pela última vez a mesma linha radial. Cundy e Rollett (Modelos Matemáticos, segunda edição 1961, página 70) dizem que esta espiral ocorre em conchas de caracol e cabeças de flores referentes a DArcy Thompsons On Growth and Form, provavelmente significando o capítulo 6 The Spiral Equiangular. Aqui, Thompson está falando sobre uma classe de espiral com um fator de expansão constante ao longo de uma linha central e não apenas conchas com um fator de expansão Phi. Abaixo estão as imagens de secções transversais de uma concha do mar Nautilus. Eles mostram a curva em espiral da casca e as câmaras internas que o animal que a usa aumenta quando cresce. As câmaras fornecem flutuabilidade na água. Clique na imagem para ampliá-la em uma nova janela. Desenhe uma linha do centro para fora em qualquer direção e encontre dois lugares onde a concha cruza-a de modo que a espiral da concha tenha rodado apenas uma vez entre elas. O ponto de passagem externo será cerca de 1,6 vezes mais longe do centro que o próximo ponto interno na linha onde a concha o cruza. Isso mostra que a concha cresceu por um fator da razão de ouro em uma volta. No cartaz mostrado aqui, esse fator varia de 1,6 a 1,9 e pode ser devido ao fato de a concha não ser cortada exatamente ao longo de um plano central para produzir a seção transversal. Várias organizações e empresas têm um logotipo baseado nesse projeto, usando a espiral dos quadrados de Fibonacci e, em algum momento, com o shell Nautilus sobreposto. É incorreto dizer que isso é uma Phi-espiral. Em primeiro lugar, a espiral é apenas uma aproximação, pois é composta por quartos círculos separados e distintos, em segundo lugar, a espiral (verdadeira) aumenta por um fator Phi a cada trimestre de turno, por isso é mais correto chamá-la de espiral Phi 4. Clique nos logotipos para descobrir mais sobre as organizações. Everest Community College Basingstoke Aqui estão algumas fotos mais maravilhosas de Todos os cartazes (que você pode comprar para sua sala de aula ou parede em casa). Clique em cada um para ampliá-lo em uma nova janela. O mesmo ocorre em muitas cabeças de semente e flor na natureza. A razão parece ser que este arranjo forma uma embalagem ótima das sementes, de modo que, independentemente da dimensão da cabeça da semente, elas são uniformemente embaladas em qualquer estágio, todas as sementes são do mesmo tamanho, sem aglomeração no centro e não muito Escasso nas bordas. As espirais são padrões que o olho vê, espirais mais curiosas aparecendo perto do centro, espirais mais lisas (e mais) aparecendo mais para fora vamos. Então, o número de espirais que vemos, em qualquer direção, é diferente para cabeças de flores maiores do que para pequenas. Em uma grande cabeça de flores, vemos mais espirais além do que fazemos perto do centro. O número de espirais em cada direção são (quase sempre) vizinhos números Fibonacci Clique nesses links para mais alguns diagramas de 500.000 e 5000 sementes. Clique na imagem à direita para uma animação Quicktime de 120 sementes aparecendo de um único ponto de crescimento central. Cada nova semente é apenas phi (0183618) de uma vez do último (ou, de forma equivalente, há sementes Phi (1183618) por turno). A animação mostra que, por maior que seja a cabeça da semente, as sementes estão sempre igualmente espaçadas. Em todas as etapas, as Espirais de Fibonacci podem ser vistas. O mesmo padrão mostrado por esses pontos (sementes) é seguido se os pontos se desenvolvem em folhas ou ramos ou pétalas. Cada ponto só sai diretamente da haste central em linha reta. Este processo modela o que acontece na natureza quando a dica crescente produz sementes de forma espiralada. A única área ativa é a crescente dica - as sementes só aumentam quando apareceram. Esta animação foi produzida por Maple. Se houver sementes N em um quadro, a mais nova semente aparece mais próxima do ponto central, em 0183618 de uma volta do ângulo em que apareceu o último. Uma semente que é i frames old ainda mantém seu ângulo original do centro exato, mas terá se deslocado para uma distância que é a raiz quadrada de i. Phyllotaxis. Um estudo sistêmico na morfogênese da planta (Cambridge Studies in Mathematical Biology) de Roger V. Jean (400 páginas, Cambridge University Press, 1994) tem uma boa ilustração em sua capa - clique no link do título dos livros ou nesta pequena foto da capa e Na página que se abre, clique na imagem da capa frontal para vê-la. Ele mostra claramente que as espirais que o olho vê são diferentes perto do centro em uma cabeça de semente de girassol real, com todas as sementes do mesmo tamanho. Smith College (Northampton, Massachusetts, EUA) tem um excelente site. Um Site Interativo para o Estudo Matemático da Formação de Padrões de Plantas que vale a pena visitar. Também possui uma página de links para mais recursos. Observe que você nem sempre encontrará os números de Fibonacci no número de pétalas ou espirais nas cabeças de semente, etc., embora eles freqüentemente se aproximem dos números de Fibonacci. Você faz as contas de matemática. Por que não cultivar o seu próprio girassol a partir da semente. Fiquei surpreso com a facilidade de crescer quando o quadro acima apareceu em uma tigela de lâmpadas no meu pátio em casa no norte da Inglaterra. Talvez tenha chegado a partir de uma mistura de semente de pássaros que apareci no ano passado. A mistura Bird-seed geralmente tem sementes de girassol, então você pode escolher alguns e colocá-los em uma panela. Semegue-os entre abril e junho e mantenha-os aquecidos. Alternativamente, agora há uma deslumbrante variedade de cores e formas de girassóis para tentar. Uma boa fonte para sua semente é: Nickys Seeds que fornece toda a gama de sementes de flores e vegetais, incluindo sementes de girassol no Reino Unido. Dê uma olhada no catálogo on-line da Nickys Seeds, onde há muitas fotos de cada uma das flores. Que plantas mostram espirais de Fibonacci em suas flores Você consegue encontrar um exemplo de flores com 5, 8, 13 ou 21 pétalas Existem flores mostradas com outros números de pétalas que não são números de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Cones de pinheiro Os cones de pin mostram as espirais de Fibonacci claramente. Aqui está uma imagem de um cone de pinho comum visto a partir da base onde a haste a conecta à árvore. Você pode ver os dois conjuntos de espirais. Quantos existem em cada conjunto? Aqui está outro cone de pinho. Não é apenas menor, mas tem um arranjo espiral diferente. Use os botões para ajudar a contar o número de espirais em cada direção neste cone de pinho. O padrão continua com os números de Fibonacci em cada coluna Arranjos de folhas de algumas plantas comuns Uma estimativa é que 90 por cento de todas as plantas apresentam esse padrão de folhas envolvendo os números de Fibonacci. Algumas árvores comuns com seus números de arranjos de folhas de Fibonacci são: 12 elm, linden, lima, gramíneas 13 faia, avelã, gramas, amora 25 carvalho, cereja, maçã, azevinho, ameixa, cascalho comum 38 poplar, rosa, pera, salgueiro 513 bichano Salgueiro, amêndoa onde tn significa que cada folha é uma volta após a última folha ou que há t gira para n folhas. As espinhas de Cactuss muitas vezes mostram as mesmas espirais que já vimos em cones de pinus, pétalas e arranjos de folhas, mas eles são muito mais visíveis. Charles Dills observou que os números de Fibonacci ocorrem em Bromélias e sua página inicial tem links para muitas imagens. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Legumes e frutas Aqui está uma foto de uma couve-flor ordinária. Observe como é quase um pentágono no esboço. Olhando com atenção, você pode ver um ponto central, onde os floretes são menores. Olhe novamente, e você verá que os flósculos estão organizados em espirais em torno deste centro em ambos os sentidos. Quantas espirais estão lá em cada direção. Estes botões mostrarão as espirais mais claramente para você contar (as linhas são desenhadas entre os flósculos): Broccoli romanêsCaiflor (ou Romanesco) parece e tem um cruzamento entre brócolis e couve-flor. Cada floreta é atingido em pico e é uma versão idêntica, mas menor, da coisa toda, o que torna as espirais fáceis de ver. Quantas espirais existem em cada direção. Estes botões mostrarão as espirais mais claramente para você contar (as linhas são desenhadas entre os flósculos): Aqui estão algumas investigações para descobrir os números de Fibonacci para você em vegetais e frutas. Você faz as contas de matemática. Dê uma olhada em uma couve-flor na próxima vez que estiver preparando uma: Primeiro, olhe para ela: Conte o número de floretes nas espirais da sua couve-flor. O número em uma direção e no outro serão os números de Fibonacci, como vimos aqui. Você obtém os mesmos números que na imagem Veja mais de perto um único flósculo (quebre um perto da base de sua couve-flor). É uma mini couve-flor com seus próprios pequenos floretes, todos dispostos em espirais ao redor de um centro. Se você puder, conte as espirais em ambos os sentidos. Quantos estão lá Então, ao cortar os flósculos, tente isso: comece na parte inferior e tire o maior flósculo, cortando-o paralelamente ao tronco principal. Encontre o próximo em cima do caule. Será cerca de 0183618 de uma rodada (em uma direção). Corte-o da mesma maneira. Repita, na medida que você quiser e. Agora olhe para o caule. Onde os flocos são bastante como um cone de pinho ou abacaxi. Os flocos foram dispostos em espirais até o caule. Contando-os novamente mostra os números de Fibonacci. Experimente o mesmo para brócolis. As folhas chinesas e a alface são semelhantes, mas não existe um caule adequado para as folhas. Em vez disso, retire cuidadosamente as folhas, da parte mais externa primeiro, percebendo que elas se sobrepõem e geralmente há apenas uma que é a mais externa cada vez. Você deve encontrar algumas conexões do número Fibonacci. Procure os números de Fibonacci na fruta. E sobre uma banana. Contar de quantas superfícies planas é feita - é 3 ou talvez 5 Quando você o descascou, corte-o pela metade (como se estivesse quebrando pela metade, não longitudinalmente) e olhe novamente. Surpresa Há um número Fibonacci. E quanto a uma maçã. Em vez de cortá-lo da haste para a extremidade oposta (onde a flor era), ou seja, do pólo norte ao pólo sul, tente cortá-lo ao longo do Equador. Surpresa há seu número Fibonacci Experimente uma fruta Sharon. Onde mais você pode encontrar os números Fibonacci em frutas e legumes Por que não me enviar um e-mail com seus resultados e os melhores serão colocados na Web aqui (ou ligados a sua própria página web). 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Fibonacci Fingers Olhe para a sua própria mão: Você tem. 2 mãos, cada uma das quais tem. 5 dedos, cada um dos quais tem. 3 partes separadas por. 2 knuckles Isso é apenas uma coincidência ou não. No entanto, se você medir o comprimento dos ossos em seu dedo (melhor visto dobrando ligeiramente o dedo), parece que a proporção do osso mais longo em um dedo para o osso do meio é Phi. O que é a proporção do osso do meio Para o osso mais curto (no final do dedo) - Phi novamente Você consegue encontrar algumas proporções nos comprimentos dos dedos que se parecem com Phi --- ou parece que poderia ser qualquer outra razão similar também Por que não medir Suas mãos de amigos e coletar algumas estatísticas. NOTA: quando esta página foi criada pela primeira vez (em 1996), isso significava uma piada e como algo para investigar para mostrar que Phi, uma proporção precisa de 1.6180339. Não é a Resposta à Vida, o Universo e Tudo - já que todos sabemos que a resposta é 42. A idéia de que os comprimentos das partes do dedo estavam em ratios foi posta em 1973, mas dois artigos posteriores que investigam isso mostram que isto é falso. Embora os números de Fibonacci sejam mencionados no título de um artigo em 2003, é realmente sobre as proporções de seção dourada de comprimentos de osso na mão humana, mostrando que em 100 raios-x da mão somente 1 em 12 poderia razoavelmente ser suposto ter dourado Proporções de osso-comprimento da seção. A pesquisa de dois médicos britânicos em 2002 examina o comprimento dos dedos de seus pontos de rotação em quase 200 mãos e novamente não consegue encontrar phi (as razões reais encontradas foram 1: 1 ou 1: 1,3). Sobre a adaptabilidade da mão do homem J W Littler, The Hand vol 5 (1973) páginas 187-191. A seqüência de Fibonacci: relação com a mão humana Andrew E Park, John J Fernandez, Karl Schmedders e Mark S Cohen Journal of Hand Surgery vol 28 (2003) páginas 157-160. Avaliação radiográfica dos comprimentos relativos dos ossos dos dedos da mão humana por R. Hamilton e RA Dunsmuir Journal of Hand Surgery vol 27B (Volume britânico e europeu, 2002) páginas 546-548 com agradecimentos a Gregory OGrady da Nova Zelândia por Essas referências e as informações nesta nota. Da mesma forma, se você encontrar os números 1, 2, 3 e 5 ocorrendo em algum lugar, nem sempre significa que os números de Fibonacci estão disponíveis (embora possam ser). Richard Guys, artigo excelente e legível sobre como e por que as pessoas desencadeiam conclusões erradas de dados inadequados, vale a pena olhar: A Lei Forte de Números Pequenos Richard K Guy no American Mathematical Monthly. Vol. 95, 1988, páginas 697-712. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Mais. Sempre Fibonacci Mas é sempre o número de Fibonacci que aparece nas plantas que eu lembro como uma criança que olha em um campo de trevo para o trevo evasivo de 4 folhas - e encontrando uma. Natura, The Golden Ratio e Fibonacci também. Então, assim como nós, naturalmente, temos sete braços quando usamos 0.142857 (17), tendemos a obter Números Fibonacci quando usamos o Rácio de Ouro. Tente contar os braços em espiral - as quimeras de espirais de virada e, em seguida, o quotright que gira em espiral. Que números você obteve Crescimento da folha espiral Este comportamento interessante não é encontrado apenas nas sementes de girassol. Folhas, ramos e pétalas também podem crescer em espirais. Por que, então, as novas folhas não bloqueiam o sol das folhas mais velhas, ou então a quantidade máxima de chuva ou orvalho é direcionada para as raízes. Na verdade, quando uma planta tem espirais, a rotação tende a ser uma fração feita com dois números de Fibonacci sucessivos (um após o outro), por exemplo: uma meia rotação é 12 (1 e 2 são números Fibonacci) 35 também é comum (ambos Fibonacci Numbers), e 58 também (você adivinhou) cada vez mais perto e mais perto do Golden Ratio. E é por isso que os Números Fibonacci são muito comuns nas plantas. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. etc ocorrem em uma incrível quantidade de lugares. Aqui está uma margarida com 21 pétalas (mas espero mais ou menos, porque alguns podem ter caído ou simplesmente estar crescendo). Mas não vemos isso em todas as plantas, pois a natureza tem muitos métodos diferentes de sobrevivência. Ângulo dourado Até agora, temos falado sobre quotturnsquot (rotações completas). O equivalente a 0,61803. Rotações é 222.4922. Graus, ou cerca de 222,5deg. Na outra direção, é cerca de 137.5deg. Chamado 'Ângulo de ouro'. Então, da próxima vez que você estiver andando no jardim, procure o Ângulo Dourado e conte pétalas e folhas para encontrar Números Fibonacci e descubra como as plantas são inteligentes. Por que você não entra no jardim ou estacione agora, e comece a contar folhas e pétalas, e medindo rotações para ver o que você encontra. Você pode escrever seus resultados neste formulário: Nome ou Descrição da Planta:
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